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3種方法來解三次方程

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目錄方法1：解不含常數項的三次方程1、檢查三次方程，看是否包含常數項d{displaystyle d}2、提取方程的公因式x{displaystyle x}3、如果可能，將得到的二次方程因式分解。4、如果無法手動對括號內的部分進行因式分解，可使用二次公式求解。5、零和二次方程的解就是三次方程的解。方法2：使用因數表求整數解1、確保三次方程有一個d{displaystyle d}2、找出a{displaystyle a}3、用a{displaystyle a}4、手動代入整數，這種方法較爲簡單，但可能會比較費時。5、使用更復雜，但可能更快速的綜合除法。方法3：使用判別式方法1、寫下a{displaystyle a}2、使用正確的公式計算判別式零。3、然後，計算Δ1=2b3?9abc+27a2d{displaystyle Delta _{1}=2b^{3}-9abc+27a^{2}d}4、計算:5、計算:6、使用變量計算三個根。三次方程的最高次數爲3次，它有3個解，或者說3個根，方程本身的形式是

方法1：解不含常數項的三次方程

1、檢查三次方程，看是否包含常數項 ${displaystyle d}$ d{displaystyle d}。三次方程的形式爲 ${displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$ 。但是，唯一必要的關鍵項是 ${displaystyle x^{3}}$ ，這意味着三次方程中未必會出現其他項。如果方程中包含常數項 ${displaystyle d}$ ，那麼你就必須使用其它解法。

如果 ${displaystyle a=0}$ ，那麼這個方程就不是三次方程。

2、提取方程的公因式 ${displaystyle x}$ x{displaystyle x}。由於方程沒有常數項，所以其中各項都包含變量 ${displaystyle x}$ 。也就是說，可以提取方程的公因式 ${displaystyle x}$ 來簡化方程。這樣做之後，可以將方程重寫爲 ${displaystyle x(ax^{2}+bx+c)}$ 。例如，假設我們一開始要解的方程是 ${displaystyle 3x^{3}-2x^{2}+14x=0}$ 。

提取方程的公因式 ${displaystyle x}$ ，得到 ${displaystyle x(3x^{2}-2x+14)=0}$ 。

3、如果可能，將得到的二次方程因式分解。很多情況下，提取公因式 ${displaystyle x}$ 後得到的二次方程 ${displaystyle ax^{2}+bx+c}$ 都能被因式分解。例如，如果要解 ${displaystyle x^{3}+5x^{2}-14x=0}$ ，你可以：提取公因式 ${displaystyle x}$ ： ${displaystyle x(x^{2}+5x-14)=0}$

將括號內的二次方程因式分解： ${displaystyle x(x+7)(x-2)=0}$

設各因式等於 ${displaystyle 0}$ 。得到方程的解 ${displaystyle x=0,x=-7,x=2}$ 。

4、如果無法手動對括號內的部分進行因式分解，可使用二次公式求解。你可以將 ${displaystyle a}$ 、 ${displaystyle b}$ 、 ${displaystyle c}$ 的值代入二次公式( ${displaystyle {frac {-bpm {sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$ )中，算出使二次方程等於0的x值。使用這種方法可以求出三次方程的兩個解。示例中，將 ${displaystyle a}$ 、 ${displaystyle b}$ 和 ${displaystyle c}$ 的值 ${displaystyle 3}$ 、 ${displaystyle -2}$ 和 ${displaystyle 14}$ 分別代入到以下二次公式： ${displaystyle {frac {-bpm {sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$ ${displaystyle {frac {-(-2)pm {sqrt {((-2)^{2}-4(3)(14)}}}{2(3)}}}$ ${displaystyle {frac {2pm {sqrt {4-(12)(14)}}}{6}}}$ ${displaystyle {frac {2pm {sqrt {(4-168}}}{6}}}$ ${displaystyle {frac {2pm {sqrt {-164}}}{6}}}$

解1: ${displaystyle {frac {2+{sqrt {-164}}}{6}}}$ ${displaystyle {frac {2+12.8i}{6}}}$

解2: ${displaystyle {frac {2-12.8i}{6}}}$

5、零和二次方程的解就是三次方程的解。二次方程有兩個解，而三次方程有三個。你已經求出其中的兩個解，即你爲括號中“二次”部分求出的解。對於可以用“因式分解”方法求解的方程，第三個解一定爲 ${displaystyle 0}$ 。將方程分解爲包含兩個因式的形式 ${displaystyle x(ax^{2}+bx+c)=0}$ ，左邊的因式是變量 ${displaystyle x}$ ，右邊的因式是括號內的二次方程。如果任一因式等於 ${displaystyle 0}$ ，則整個方程等於 ${displaystyle 0}$ 。

因此，使括號內的二次因式等於 ${displaystyle 0}$ 的兩個解是三次方程的解，而使左邊因式等於 ${displaystyle 0}$ 的 ${displaystyle 0}$ 本身，也是三次方程的解。

方法2：使用因數表求整數解

1、確保三次方程有一個 ${displaystyle d}$ d{displaystyle d}值不等於零的常數項。如果形式爲 ${displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$ 的方程擁有一個不等於零的 ${displaystyle d}$ 值，那就無法將它因式分解爲二次方程。但是不用擔心，你還可以使用其他方法，比如下文中介紹的方法。以方程 ${displaystyle 2x^{3}+9x^{2}+13x=-6}$ 爲例。這個方程中，要讓等號的右邊等於 ${displaystyle 0}$ ，你需要兩邊都加 ${displaystyle 6}$ 。

得到新的方程 ${displaystyle 2x^{3}+9x^{2}+13x+6=0}$ 。由於 ${displaystyle d=6}$ ，你無法使用二次方程方法。

2、找出 ${displaystyle a}$ a{displaystyle a}和 ${displaystyle d}$ d{displaystyle d}的因數。要解三次方程，我們需要先關注 ${displaystyle x^{3}}$ 項的係數 ${displaystyle a}$ 以及方程最後的常數項 ${displaystyle d}$ ，找出它們各自的因數。記住，如果兩個數字相乘得到另一個數，那麼這兩個數就是乘積的因數。例如，由於你可以用 ${displaystyle 6imes 1}$ 和 ${displaystyle 2imes 3}$ 得到6，所以1、2、3、6就是6的因數。

例題中， ${displaystyle a=2}$ ，而 ${displaystyle d=6}$ 。2的因數是1和2。6的因數是1、2、3、6。

3、用 ${displaystyle a}$ a{displaystyle a}的因數除以 ${displaystyle d}$ d{displaystyle d}的因數。將 ${displaystyle a}$ 的各因數除以 ${displaystyle d}$ 的各因數所得的值羅列出來。這樣做通常會得到許多分數和幾個整數。三次方程的整數解要麼是其中的一個整數，要麼是其中一個整數的相反數。例題中，用 ${displaystyle a}$ 的因數1和2除以 ${displaystyle d}$ 的因數1、2、3、6，得到： ${displaystyle 1}$ ， ${displaystyle {frac {1}{2}}}$ ， ${displaystyle {frac {1}{3}}}$ ， ${displaystyle {frac {1}{6}}}$ ， ${displaystyle 2}$ 和 ${displaystyle {frac {2}{3}}}$ 。然後，我們將各數字的相反數加入進去，使之更加完整： ${displaystyle 1}$ ， ${displaystyle -1}$ ， ${displaystyle {frac {1}{2}}}$ ， ${displaystyle -{frac {1}{2}}}$ ， ${displaystyle {frac {1}{3}}}$ ， ${displaystyle -{frac {1}{3}}}$ ， ${displaystyle {frac {1}{6}}}$ ， ${displaystyle -{frac {1}{6}}}$ ， ${displaystyle 2}$ ， ${displaystyle -2}$ ， ${displaystyle {frac {2}{3}}}$ 和 ${displaystyle -{frac {2}{3}}}$ 。三次方程的整數解就在其中。

4、手動代入整數，這種方法較爲簡單，但可能會比較費時。得到相除的結果後，你可以迅速將整數手動代入，看哪些能讓三次方程等於 ${displaystyle 0}$ ，進而求出方程的解。例如，如果將 ${displaystyle 1}$ 代入方程，可以得到： ${displaystyle 2(1)^{3}+9(1)^{2}+13(1)+6}$ ，即 ${displaystyle 2+9+13+6}$ ，結果不等於 ${displaystyle 0}$ 。因此，使用得到的下一個值。

如果將 ${displaystyle -1}$ 代入方程，得到 ${displaystyle (-2)+9+(-13)+6}$ ，結果等於 ${displaystyle 0}$ 。這意味着 ${displaystyle -1}$ 是方程的一個整數解。

5、使用更復雜，但可能更快速的綜合除法。如果你不想花時間一個一個地去代入所有的值，不妨嘗試一下更快捷的方法，也就是所謂的綜合除法。總的來說，你應該使用綜合除法，用得到的整數值除以 ${displaystyle a}$ 、 ${displaystyle b}$ 、 ${displaystyle c}$ 和 ${displaystyle d}$ 。如果得到餘數 ${displaystyle 0}$ ，那麼這個值就是三次方程的解。綜合除法是一個複雜的主題，超出了本文論述的範圍。以下的例子示範瞭如何用綜合除法求三次方程的解：-1 | 2 9 13 6__| -2-7-6__| 2 7 6 0

由於得到的最終餘數爲 ${displaystyle 0}$ ，由此可知， ${displaystyle -1}$ 是三次方程的一個整數解。

方法3：使用判別式方法

1、寫下 ${displaystyle a}$ a{displaystyle a}、 ${displaystyle b}$ b{displaystyle b}、 ${displaystyle c}$ c{displaystyle c}和 ${displaystyle d}$ d{displaystyle d}的值。本方法會大量用到方程各項的係數。開始前，記下 ${displaystyle a}$ 、 ${displaystyle b}$ 、 ${displaystyle c}$ 和 ${displaystyle d}$ 的值，免得之後混淆。對於例題 ${displaystyle x^{3}-3x^{2}+3x-1}$ ，寫下 ${displaystyle a=1}$ 、 ${displaystyle b=-3}$ 、 ${displaystyle c=3}$ 和 ${displaystyle d=-1}$ 。注意，如果有 ${displaystyle x}$ 變量前沒有係數，這代表它的係數爲 ${displaystyle 1}$ 。

2、使用正確的公式計算判別式零。用判別式方法求三次方程的解會用到十分複雜的數學原理，但如果嚴格遵循方法流程，你會發現，它在解令其他方法束手無策的三次方程方面十分實用。首先，將適當的值代入到公式 ${displaystyle Delta _{0}=b^{2}-3ac}$ 中，求出第一個重要數值，即判別式零 ${displaystyle Delta _{0}}$ 。判別式是一個數字，可以爲我們提供關於多項式根的資訊。你可能已經知道二次判別式是( ${displaystyle b^{2}-4ac}$ )。

例題中的計算過程如下： ${displaystyle b^{2}-3ac}$ ${displaystyle (-3)^{2}-3(1)(3)}$ ${displaystyle 9-3(1)(3)}$ ${displaystyle 9-9=0=Delta _{0}}$

3、然後，計算 ${displaystyle Delta _{1}=2b^{3}-9abc+27a^{2}d}$ Δ1=2b3?9abc+27a2d{displaystyle Delta _{1}=2b^{3}-9abc+27a^{2}d}。你需要的下一個重要數值是判別式 ${displaystyle 1}$ ，即 ${displaystyle Delta _{1}}$ ，它的計算過程會稍微複雜一點，但方法與 ${displaystyle Delta _{0}}$ 基本相同。將適當的值代入到公式 ${displaystyle 2b^{3}-9abc+27a^{2}d}$ 中，得到 ${displaystyle Delta _{1}}$ 的值。例題中的計算過程如下： ${displaystyle 2(-3)^{3}-9(1)(-3)(3)+27(1)^{2}(-1)}$ ${displaystyle 2(-27)-9(-9)+27(-1)}$ ${displaystyle -54+81-27}$ ${displaystyle 81-81=0=Delta _{1}}$

4、計算: ${displaystyle Delta =(Delta _{1}^{2}-4Delta _{0}^{3})div -27a^{2}}$ 。然後，我們會使用 ${displaystyle Delta _{0}}$ 和 ${displaystyle Delta _{1}}$ 的值計算三次方程的判別式。在三次方程中，如果判別式爲正數，則方程有三個實數解。如果判別式等於零，則方程有一個或兩個實數解，且有時兩個實數解會相等。如果判別式爲負數，則方程只有一個實數解。三次方程必定有至少一個實數解，因爲其函數圖形必定會與X軸相交至少一次。

例題中，由於 ${displaystyle Delta _{0}}$ 和 ${displaystyle Delta _{1}}$ 都等於 ${displaystyle 0}$ ，所以 ${displaystyle Delta }$ 的計算相對簡單。計算過程如下： ${displaystyle (Delta _{1}^{2}-4Delta _{0}^{3})div (-27a^{2})}$ ${displaystyle ((0)^{2}-4(0)^{3})div (-27(1)^{2})}$ ${displaystyle 0-0div 27}$ ${displaystyle 0=Delta }$ ，所以方程有一個或兩個解。

5、計算: ${displaystyle C=^{3}{sqrt {left({sqrt {Delta _{1}^{2}-4Delta _{0}^{3}}}+Delta _{1}ight)div 2}}}$ 。最後一個需要計算的重要數值是 ${displaystyle C}$ 。它能幫助我們在最後求出三個根。按照正常計算過程，根據需要代入 ${displaystyle Delta _{1}}$ 和 ${displaystyle Delta _{0}}$ 。例題中， ${displaystyle C}$ 的計算過程如下： ${displaystyle ^{3}{sqrt {{sqrt {(Delta _{1}^{2}-4Delta _{0}^{3})+Delta _{1}}}div 2}}}$ ${displaystyle ^{3}{sqrt {{sqrt {(0^{2}-4(0)^{3})+(0)}}div 2}}}$ ${displaystyle ^{3}{sqrt {{sqrt {(0-0)+0}}div 2}}}$ ${displaystyle 0=C}$

6、使用變量計算三個根。三次方程的根或解可以使用公式 ${displaystyle -(b+u^{n}C+Delta _{0}div (u^{n}C))div 3a}$ 計算，其中 ${displaystyle u=(-1+{sqrt {-3}})div 2}$ ，而n等於1、2或3。根據需要代入數值進行計算，其中涉及到大量的數學運算，但你應該可以得到三個使方程成立的解。你可以分別計算n等於1、2、3時公式的值，來求得例題的答案。這樣得到的答案可能就是三次方程的解。你可以將答案代入到方程中，使之等於0的答案即爲方程的正確解。

例如，將1代入到 ${displaystyle x^{3}-3x^{2}+3x-1}$ 中，計算結果爲0，所以1就是三次方程的一個解。

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